圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在不穩定流(liu)(liu)(liu)動時，流(liu)(liu)(liu)入的(de)流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質量與流(liu)(liu)(liu)出(chu)的(de)流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質量之差應等于(yu)封閉(bi)空間中流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質量的(de)變化；而(er)在穩定流(liu)(liu)(liu)動時則流(liu)(liu)(liu)入流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質量必(bi)然等于(yu)流(liu)(liu)(liu)出(chu)的(de)流(liu)(liu)(liu)體(ti)(ti)質量，其數學表達式即為連續性方程。在直角坐標系中

不穩定流(liu)動時(shi)

（2-1）

穩定流動(dong)時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標系中

不穩定流動時

（2-2）

穩定(ding)流動時(shi)

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直(zhi)角坐標(biao)和(he)柱坐標(biao)之間的換算公式(shi)如下：

（2-3）

連續性方程表示了流體運動時，其速度與(yu)密度之間的關系。

二(er)、能量方(fang)程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以(yi)及動能，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其微分形式為

（2-4a）

式中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性流體運動(dong)方(fang)程

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組中左邊*項為(wei)單位質量(liang)力(li)；左邊第二項為(wei)壓力(li)，第三項為(wei)摩擦力(li)，合稱為(wei)表面力(li)；右邊為(wei)慣性(xing)力(li)。

在柱坐(zuo)標系中則表(biao)示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直角坐標拉普拉斯算子

一(yi)柱坐標(biao)用拉普(pu)拉斯算子；

一歐拉系數(shu)。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對(dui)于柱坐(zuo)標系則表示(shi)為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。